गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $4^{n}-1$,$3$ से विभाज्य है।

माना $P(n): 4^{n}-1$,$3$ से विभाज्य है,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = 4^{1}-1 = 3$,जो $3$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $4^{k}-1 = 3m$ किसी पूर्णांक $m \in \mathbb{N}$ के लिए। यह दर्शाता है कि $4^{k} = 3m+1$ $(i)$।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $4^{k+1}-1$,$3$ से विभाज्य है।
$4^{k+1}-1 = 4 \cdot 4^{k}-1$ लें।
$(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $4(3m+1)-1 = 12m+4-1 = 12m+3 = 3(4m+1)$।
चूंकि $3(4m+1)$,$3$ का एक गुणज है,इसलिए $4^{k+1}-1$,$3$ से विभाज्य है।
निष्कर्ष: गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।